Defi n 15

Salut

Chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL à :
aboutaki@gmail.com

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )

puis poster le message suivant ici "solution postée".
Merci

la semaine prochaine sera la dernière pour ce defi. Allez y essayez ce n est pas dur.

Une annee est passee et aucun essai.
essayer un peu ce n est pas si dur...

solution postée

Voici la solution proposée par Majdouline



Cette solution est juste.

on a {x}[x]=2008x
on sait que {x}=x-[x] alors notre équation devient:
(x-[x])[x]=2008x
<=>x[x]-[x]²=2008x
<=>x[x]-2008x=[x]²
<=>x([x]-2008)=[x]²
on sait que : [x]≤x≤[x]+1
1)-si [x]-2008≥0 :
alors [x]([x]-2008)≤x([x]-2008)≤([x]+1)([x]-2008)
<=>[x]([x]-2008)≤[x]²≤([x]+1)([x]-2008)
<=>[x]²-2008[x]≤[x]²≤([x]²-2007[x]-2008
<=>-2008[x]≤0≤-2007[x]-2008
donc 2007[x]+2008≤0 ------>contradiction car [x]≥2008>0
2)-si [x]-2008≤0
alors ([x]+1)([x]-2008)≤x([x]-2008)≤[x]([x]-2008)
<=>([x]²-2007[x]-2008≤[x]²≤[x]²-2008[x]
<=>-2007[x]-2008≤0≤-2008[x]
0≤-2008[x] alors [x]≤0
et -2007[x]-2008≤0 alors 2007[x]+2008≥0
donc [x]≥-2008/2007=-1.00049.....
alors [x]=-1 ou [x]=0
a)-pour [x]=-1:
on a : x([x]-2008)=[x]²
alors -2009x=1
d'où x=-1/2009
on sait que {x}=x-[x]=-1/2009+1
alors : {x}=2008/2009
b)-pour [x]=0:
x([x]-2008)=[x]²
alors -2008x=0
d'où x=0
et on sait que {x}=x-[x]=0-0
{x}=0
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de a) et (b) on a :
S={-1/2009;0}
voilà...j'attends votre confirmation.....
par majdouline