Défi n°7 du 12/03/2007 au 16/03/2007

Montrer que:

salut

chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL à :
aboutaki@gmail.com

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )

puis poster le message suivant ici "solution postée".
Merci

Bonjour
ine indication: séparer les deux cas - n paire et - n impaire
a+

puisque personne n' repondu, le problème prolongé encore une autre semaine
a+

solution envoyée
a+

voici la solution de abou-ayman

salam,Mr le modérateur
voila la réponse de Défi N°7:
supposons qu'il existe un certain n tel que sqrt(n/n+2) appartient à Q alors (n+2)*sqrt(n/n+2) appartient à IN ceci contredit le fait que (n+2)*sqrt(n/n+2)=sqrt(n*(n+2)) et que :
n< sqrt(n*(n+2)) < n+1 .cqfd.
a+

commentaire:
? sqrt(n/n+2) appartient à Q alors (n+2)*sqrt(n/n+2) appartient à IN

solution officielle

1)si n est paire
cela revient a montrer que pour tous n ds N* on sqrt(n/n+1) pas ds Q.
si c est le cas n/n+1 = a^2 / b^2 avec a et b premiers entres eux (b>a)
on aura donc une decomposition de 1 en facteurs entiers naturels
cqfd ds ce cas
2)si n est impaire, on refait la meme chose car 2n+1 et 2n+3 sont premiers entres eux et on aura une decomposition de 2 : 2 = (b-a)(b+a)
si b-a=2 contradiction sinon s est 1 alors a et b aurons deux parité differentes absurde
cqfd