Une inegalite

bJr....y a que la disjonction des cas
on a |x+y|≤z et |x-y|≤z
il s'agit des réels on a alors 4 cas:
1)x et y sont positifs -----2)x et y sont négatifs....3)x positif y est négatifs------4)y positifs et x négatif
1)-si x et y sont positifs
on a |x+y|≤z ----->x+y≤z
puisque x et y sont positifs alors x=|x| et y=|y|
alors x+y=|x|+|y|
d'où |x|+|y|≤z (1)
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2)-si x et y sont négatifs:
on a |x+y|≤z alors -z≤x+y≤z
donc -z≤-x-y≤z =>-x-y≤z
puisque x y sont négatifs alors -x=|x| et -y=|y|
donc -|x|+|y|=-x-y
-----> |x|+|y|≤z (2)
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3)-si x est positif et y est négatif:
on a |x-y|≤z
alors -z≤x-y≤z---->x-y≤z
on a x est positif alors x=|x|
y est négatif alors -y=|y|
x-y=|x|+|y|
d'où |x|+|y|≤z (3)
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4)-si x est négatif et y est positif....
on a |x-y|≤z
alors -z≤x-y≤z---->-z≤y-x≤z
donc y-x≤z
x est négatif alors -x=|x|
y est positif alors y=|y|
----->y-x=|x|+|y|
d'où |x|+|y|≤z (4)
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de (1) (2) (3) et (4) on a pour tous x y et z de IR
|x|+|y|≤z