Mathématiques : le secret d'un ballon qui roule

Combien de faces possède un ballon de football ? Comment
compter facilement le nombre d'arêtes d'un solide ? Qu'est-ce qu'un
icosaèdre ? Alexandre Moatti, auteur des Indispensables mathématiques et physiques pour tous (Odile Jacob, 2006) et du blog www.maths-et-physique.net, nous présente une balade ludique dans la géométrie des solides à arêtes...



Connaissez-vous la relation d’Euler f + s – a = 2?
Elle s’applique à tout solide dans l’espace, par exemple le dé. Il a
6 faces (f), 8 sommets (s), 12 arêtes (a). On retrouve bien 6 + 8 – 12= 2. Cette relation est également vraie pour les quatre autres solides de Platon,
le tétraèdre (4 faces triangles équilatéraux, 4 sommets, 6 arêtes),
l’octaèdre (8 faces triangles équilatéraux), le dodécaèdre (12 faces
pentagonales, 20 sommets, 30 arêtes) et enfin l’icosaèdre (20 faces
triangles équilatéraux, 12 sommets, 30 arêtes).


Elle s’applique aussi... au ballon de football qui
est, lui aussi, un solide dans l’espace. Comment est construit un
ballon de foot ? Ses faces sont-elles des triangles (3 côtés), des
carrés (4 côtés), des pentagones (5 côtés), des hexagones (6 côtés) ?
Vous avez sans doute une petite idée, on peut aussi s’aider avec
l’image. Excluons déjà les deux premiers : difficile de faire rouler le
ballon avec des triangles ou des carrés ! Voyons les deux derniers. La
géométrie nous démontre que l’on ne peut refermer un solide sur
lui-même en partant uniquement d’hexagones. Vous ne pourriez coudre
votre ballon... C’est aussi pour cette raison que je ne vous propose
pas de fabriquer le ballon avec des polygones à plus de six côtés
(heptagone, octogone…).


Le secret d'un ballon qui roule


Donc on ne peut pas prendre uniquement des
hexagones : le ballon roulerait bien, mais il ne peut être construit !
Si l’on ne prend que des pentagones, on se retrouve justement avec un
des solides réguliers, le dodécaèdre (12 faces pentagonales) : pas mal
mais il ne roule pas terrible. Peut mieux faire.


Le dodécaèdre ? Il a 12 faces pentagonales. Pas terrible pour rouler.
Commons



La solution optimale se situe entre les deux : pas
uniquement des faces hexagonales (couture impossible) et pas uniquement
des faces pentagonales (ne roule pas bien).


En fait, le ballon de football est composé de 20
hexagones (les faces blanches) et de 12 pentagones (les faces noires) :
le saviez-vous ? Euler vérifie sa relation sur le ballon : 32 faces +
60 sommets – 90 arêtes = 2. Vérifiez vous-même en comptant sur un vrai
ballon !


Le
ballon de foot est un icosaèdre tronqué : les 12 sommets sont coupés,
se transformant en 12 pentagones ; les 20 faces triangulaires
deviennent ainsi 20 hexagones.



Pour ceux qui veulent aller plus loin : en fait le ballon de foot est un icosaèdre tronqué,
c'est-à-dire le plus grand solide de Platon (pour avoir la plus grande
surface de roulage régulière possible) auquel on aurait rogné les
pointes pour le faire rouler. Chacun des 12 sommets est rasé,
transformé en pentagone (il reste les 20 faces initiales de l’icomachin
– de triangles, elles deviennent hexagones – et les 12 sommets sont
transformés en 12 faces pentagonales).


Euler, paraphrasant Galilée, pourrait nous dire de son ballon : « Et pourtant, il tourne ! ».